Proposições Categóricas
Formas de representação, Negação e Equivalência
Uma proposição categórica nada mais é do que uma proposição formada por um quantificador.
Trata-se de uma expansão da lógica sentencial, para incluir expressões como "para todo x", "existe um x", que denotam operações de quantificação sobre variáveis.
Tais expressões foram introduzidas por Frege (Friedrich Ludwig Gottlob Frege, 1848–1925), matemático, lógico e filósofo alemão, que criou um sistema de representação simbólica para formalizar a estrutura dos enunciados lógicos e suas relações, e a contribuição para a implementação do cálculo dos predicados.
Formas de Representação
[Trechos extraídos do livro Raciocínio Lógico Formal]
1) ANPAD 2009 – Sejam as definições de categorias Ax: x é administrador, Px: x é bom profissional Sx: x tem bom salário.
Uma simbolização para “Todo administrador que é bom profissional, tem bom salário.” é
Formas de Representação
Quadro 1
Quadro 2
[Trechos extraídos do livro Raciocínio Lógico Formal]
[Nota: A simbologia sentencial (vide Quadros 1 e 2 acima) é adotada por mera simplificação.]
Lógica de Predicados
A lógica de predicados é a forma usada para se representar, simbolicamente, uma proposição categórica.
Na lógica de predicados, o sujeito é representado por letra minúscula e o predicado é representado por letra maiúscula.
Por exemplo, a frase "Paulo é engenheiro." é representada simbolicamente, na lógica de predicados, por "Ep". A razão para isto é simples: Paulo é o elemento e engenheiro é o conjunto. Observe o diagrama a seguir.
Na Teoria dos Conjuntos, representa-se o conjunto por uma letra maiúscula e o elemento por letra minúscula. Por este motivo, Paulo (elemento) está representado por 'p' (minúsculo) e engenheiro (conjunto) está representado por 'E' (maiúsculo).
As proposições categóricas são representadas com o auxílio dos símbolos:
∀, que significa "para todo" ou "qualquer que seja"
∃, que significa "existe"
Exemplos:
Lógica de Predicados
A lógica de predicados é a forma usada para se representar, simbolicamente, uma proposição categórica.
Na lógica de predicados, o sujeito é representado por letra minúscula e o predicado é representado por letra maiúscula.
Por exemplo, a frase "Paulo é engenheiro." é representada simbolicamente, na lógica de predicados, por "Ep". A razão para isto é simples: Paulo é o elemento e engenheiro é o conjunto. Observe o diagrama a seguir.
Figura 1
Na Teoria dos Conjuntos, representa-se o conjunto por uma letra maiúscula e o elemento por letra minúscula. Por este motivo, Paulo (elemento) está representado por 'p' (minúsculo) e engenheiro (conjunto) está representado por 'E' (maiúsculo).
As proposições categóricas são representadas com o auxílio dos símbolos:
∀, que significa "para todo" ou "qualquer que seja"
∃, que significa "existe"
Exemplos:
1) ANPAD 2009 – Sejam as definições de categorias Ax: x é administrador, Px: x é bom profissional Sx: x tem bom salário.
Uma simbolização para “Todo administrador que é bom profissional, tem bom salário.” é
Solução/Comentários:
Quadro 3
Leitura: Para qualquer x, se x é administrador e x é bom profissional, então x tem um bom salário.
Agora, basta inserir os parênteses...
Quadro 4
Resposta: alternativa B.
2) ANPAD 2010 – Utilizando-se a constante “p” para ‘Pedro’ e os predicados “A”, “T” e “L” para, respectivamente, ‘x é amigo de y’, ‘x é atleta’ e ‘x é alto’, a expressão “Nenhum amigo alto de Pedro é atleta.” pode ser escrita em linguagem simbólica por
Solução/Comentários:
Quadro 5
Leitura: Para qualquer x, se x é amigo de Pedro e x é alto, então x não é atleta.
Agora, basta inserir os parênteses...
Quadro 6
Resposta: alternativa B.
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Negação de Proposições Categóricas
Quadro 7
[Extraído do livro Raciocínio Lógico Formal]
A negação de uma proposição categórica universal é uma proposição categórica particular ou existencial e vice-versa.
Dica:
Para entender ou visualizar melhor a negação de proposições categóricas, lance mão de um conjunto com um número limitado de elementos.
Tomemos uma turma A de um curso de informática que contém quatro alunos, representada pelo conjunto A a seguir.
A = {a, b, c, d}
n = 4.
Situação (1):
Figura 2
Proposições Categóricas:
"Nenhum aluno está presente." é verdadeira.
"Todos os alunos não estão presentes." é verdadeira.
"Todos os alunos estão ausentes." é verdadeira.
"Todos os alunos estão presentes." é falsa.
"Algum aluno está presente." é falsa.
"Alguns alunos não estão presentes." é verdadeira.
"Alguns alunos estão ausentes." é verdadeira.
Situação (2):
Figura 3
"Nenhum aluno está presente." é falsa.
"Todos os alunos não estão presentes." é falsa.
"Todos os alunos estão ausentes." é falsa.
"Todos os alunos estão presentes." é falsa.
"Alguns alunos estão presentes." é verdadeira.
"Alguns alunos não estão presentes." é verdadeira.
"Alguns alunos estão ausentes." é verdadeira.
Situação (3):
Figura 4
Proposições Categóricas:
"Nenhum aluno está presente." é falsa.
"Todos os alunos não estão presentes." é falsa.
"Todos os alunos estão ausentes." é falsa.
"Todos os alunos estão presentes." é verdadeira.
"Alguns alunos estão presentes." é verdadeira.
"Alguns alunos não estão presentes." é falsa.
"Alguns alunos estão ausentes." é falsa.
Exemplos:
1) ANPAD 2011 – A negação da proposição “Alguns administradores não são líderes.” é
a) “Nenhum administrador é líder.”
b) “Alguns administradores são líderes.”
c) “Todos os administradores são líderes.”
d) “Existe pelo menos um administrador que é líder.”
e) “Existe pelo menos um administrador que não é líder.”
Solução/Comentários:
Pelo Quadro 7, linha 2, tem-se que a negação de “Alguns administradores não são líderes.” é:
“Todos os administradores são líderes.”
Resposta: alternativa C.
2) ANPAD 2012 (Adaptada) – A negação da afirmação “Todo novo produto que é lançado é inovação.” é:
a) Nem todo novo produto é lançado e não é inovação.
b) Tudo que é lançado é inovação e não é um novo produto.
c) Existem novos produtos que são lançados e são inovações.
d) Existem novos produtos que são lançados e não são inovações.
e) Existem novos produtos que são inovações e não são lançados.
Solução/Comentários:
Pelo Quadro 7, linha 1, tem-se que a negação de “Todo novo produto que é lançado é inovação.” é:
"Existe novo produto que é lançado e não é inovação."
ou
"Existem novos produtos que são lançados e não são inovações."
ou
"Algum novo produto que é lançado não é inovação."
ou
"Alguns novos produtos que são lançados não são inovações."
Resposta: alternativa D.
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Equivalências de Proposições Categóricas
Quadro 8
[Extraído do livro Raciocínio Lógico Formal]
1) ANPAD 2005 – A proposição “É necessário que todos os administradores saibam lógica.” é equivalente a
a) “Nenhum administrador sabe lógica”.
b) “Não é verdade que existe administrador que não sabe lógica”.
c) “Não é verdade que todo administrador sabe lógica”.
d) “Existe administrador que não sabe lógica”.
e) “Todo administrador não sabe lógica”.
Solução/Comentários:
Pelo Quadro 8, uma equivalência para a proposição "Todos os administradores sabem lógica.” é
"Nenhum administrador não sabe lógica."
Note que a proposição acima não está entre as alternativas.
Torna-se, portanto, necessário recorrer à dupla-negação, isto é, à negação da negação da proposição dada.
Pelo Quadro 7, linha 1, tem-se que a negação de "Todos os administradores sabem lógica." é:
"Alguns administradores não sabem lógica."
ou
"Existem administradores que não sabem lógica."
Agora, basta inserir a segunda negação da proposição acima por meio da expressão "não é verdade que":
"Não é verdade que existe administrador que não sabe lógica."
Resposta: alternativa B.
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Abraços e Sucesso!
Prof. Milton Araújo.
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