Um pouco de Proporções
Prezados,
Estamos reiniciando um projeto antigo, que se inviabilizou ao longo do tempo por absoluta falta de tempo: a resolução de questões de provas passo a passo.
Este projeto foi o responsável pelos livros de questões resolvidas, lançados até 2001. Um desses livros é ofertado gratuitamente neste link: http://is.gd/500_questoes
Para o reinício das atividades, segue uma questão muito comum em concursos públicos, mas que ainda deixa muitos candidatos confusos (mesmo depois que veem a solução):
SEPLAG 2010 - Cesgranrio - Em uma determinada turma, a razão entre o número de meninas e o número de meninos, nessa ordem, é igual a 1/3 e, em outra turma, com o mesmo número de alunos, essa razão é 3/2. Quando juntaram as duas turmas para assistir a um filme, os professores das duas turmas perceberam que a razão entre o número de meninas e o número de meninos, nessa ordem, passou a ser igual a
(A) 2/9
(B) 17/23
(C) 4/5
(D) 20/17
(E) 11/6
Ensaios de Solução:
Alguns candidatos fazem a soma 1/3 + 3/2 = 4/5. Não pretendemos perder muito tempo comentando essa 'solução', pois, além de incorreta, o candidato também somou as frações de modo incorreto, sem reduzi-las ao mesmo denominador...
Sabemos que a maioria dos candidatos adota a seguinte solução: 1/3 + 3/2 = 11/6.
A solução acima também está incorreta, mas parece que não encontramos explicação razoável para isto, não é mesmo?
A primeira dica que sempre passamos para nossos alunos é: "leia, com atenção, o enunciado!"
Observe que o enunciado informa que as duas turmas têm o mesmo número de alunos.
Agora, imagine o seguinte:
A turma A tem 1 menina e 3 meninos (proporção: 1/3).
A turma B tem 3 meninas e 2 meninos (proporção: 3/2).
Isto está em desacordo com o que diz o enunciado: as duas turmas têm o mesmo número de alunos
Tentemos o seguinte:
A turma A tem 2 meninas e 6 meninos (proporção: 1/3).
A turma B tem 6 meninas e 4 meninos (proporção: 3/2).
Observe que continua incorreto! É por isso que não podemos realizar a soma 1/3 + 3/2 = 11/6, pois essa 'solução' não leva em conta que as duas turmas devem ter o mesmo número de alunos...
Além disso, observe que a razão 11/6 aponta para um número de meninas que é quase o dobro do número de meninos (11 meninas para 6 meninos). Levando-se em conta as proporções dadas para as duas turmas, vê-se que não seria possível o número de meninas quase "dobrar", se em nenhuma das turmas a proporção aponta nessa direção...
Deixemos de lado o raciocínio anterior e passemos à solução correta!
Solução:
[Dica: Para resolver questões desse tipo revise os conceitos de Proporcionalidade, especialmente, Razão e Proporção.]
Sabemos que na turma A há 1 menina para cada 3 meninos (1/3), isto é, o número total de crianças pode ser representado por:
Cada parte da barra acima tem o mesmo número de crianças. O número total de crianças na turma A é representado por 4 partes.
Na turma B há 3 meninas para cada 2 meninos (3/2), isto é, o número total de crianças pode ser representado por:
Cada parte da barra acima tem o mesmo número de crianças. O número total de crianças na turma B é representado por 5 partes.
Como o enunciado informa que as duas turmas têm o mesmo número de alunos, precisamos encontrar um número que seja múltiplo comum de 4 e 5, como, por exemplo, 20, 40, 60, ..., 100
Para simplificar os cálculos, adotemos o número 20 como o total de crianças em cada turma.
Assim, tem-se:
Turma A: 20/4 = 5 (cada parte tem 5 crianças), e a proporção é a seguinte: 5/15, ou seja, 5 meninas e 15 meninos.
Turma B: 20/5 = 4 (cada parte tem 4 crianças), e a proporção é a seguinte: 12/8, ou seja, 12 meninas e 8 meninos.
Desse modo, agora podemos somar o número de crianças do mesmo gênero nas duas turmas:
5 + 12 = 17 meninas
15 + 8 = 23 meninos.
Resposta: Quando juntaram as duas turmas para assistir a um filme, os professores das duas turmas perceberam que a razão entre o número de meninas e o número de meninos, nessa ordem, passou a ser igual a 17/23.
Questões propostas, nas quais você deverá empregar o mesmo raciocínio:
a) 2:5
b) 3:7
c) 3:11
d) 4:11
e) 4:24
2. ANPAD 2003. A razão entre o número de homens e o de mulheres em uma academia é 3/4. Um possível número total de pessoas nessa academia é
a) 34
b) 39
c) 46
d) 48
e) 49
3. ANPAD 2003. Um filme tem duração de 4 horas. Sabendo-se que o que resta para terminar o filme é 1/3 do que já passou, então o tempo gasto até o momento é
a) 33 min
b) 1h
c) 1h20min
d) 1h30min
e) 3h
Gabarito: 1-b, 2-e, 3-e
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Abraços e até a próxima dica!
Prof. Milton Araújo.
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