Ainda sobre médias...
Prezados,
Se vocês leram os posts anteriores, perceberão que existem atalhos interessantes para se resolver questões que parecem complicadas...
Em Pílulas de Estatística (2) mencionei que a média geométrica se aplica a grandezas que seguem uma lei geométrica. Recebi muitos pedidos para esclarecer melhor este ponto.
Decidi explicar melhor as aplicações da média geométrica por meio de dois exemplos, e já aproveito para trazer-lhes outra questão sobre aplicação da média harmônica.
As aplicações da Média Geométrica
Fórmula:
Aplicações:
Aplicações:
(1) dados que seguem uma lei geométrica, como, por exemplo, áreas;
(2) taxa média em juros compostos.
Solução/Comentários:
Resposta: A área 2 é igual a 40 centímetros quadrados.
Observação: Note que os valores dos lados dos quadrados 1, 2 e 3 da figura acima formam, nesta ordem, uma Progressão Geométrica:
O mesmo acontece com suas áreas: 25, 40, 64 formam uma P. G. de razão 1,6.
Outra solução para esta questão pode ser encontrada por meio de semelhança de triângulos.
Exemplo 2:
Vejamos um exemplo para cada uma das aplicações citadas.
Exemplo 1:
Uma pessoa constrói uma rampa, apoiando-a em três caixas cúbicas, conforme mostra a figura.
As áreas das faces visíveis das caixas 1 e 3 são, respectivamente, 25 centímetros quadrados e 64 centímetros quadrados. Calcule a área da face visível da caixa 2.
[Fonte: banco de questões do autor]Solução/Comentários:
A área da face visível da caixa 2 é calculada facilmente através da média geométrica entre as áreas 1 e 3.
Resposta: A área 2 é igual a 40 centímetros quadrados.
Observação: Note que os valores dos lados dos quadrados 1, 2 e 3 da figura acima formam, nesta ordem, uma Progressão Geométrica:
O mesmo acontece com suas áreas: 25, 40, 64 formam uma P. G. de razão 1,6.
Outra solução para esta questão pode ser encontrada por meio de semelhança de triângulos.
Os triângulos sombreados da figura a seguir são semelhantes.
Podemos, então, escrever a seguinte proporção:
Exemplo 2:
Em certo país, as taxas de inflação para os três primeiros meses do ano foram, respectivamente, 10%, 20% e 30%. Nessas condições, a taxa média mensal de inflação para os três meses é de...
[Fonte: banco de questões do autor]
Solução:
Em se tratando do cálculo de uma taxa, lembre-se de subtrair 1 e multiplicar o resultado por 100.
i = 19,72% ao mês.
Outra questão de Média Harmônica
No post 40 anos apenas citei esse exemplo, informando que os alunos do Instituto Integral são capazes de "cravar" a resposta correta em apenas 15 segundos.
Muitos leitores me solicitaram a solução da questão, ou que eu informasse essa "fórmula mágica" para resolvê-la...
Como já tratamos da média harmônica no post Pílulas de Estatística (2), podemos agora resolver a questão com relativa facilidade.
ANPAD - 2005. Durante quatro anos consecutivos, o proprietário de uma fazenda comprou um tipo de inseticida. No primeiro ano, o custo foi de R$ 16,00 por galão; no segundo, de R$ 18,00; no terceiro, de R$ 20,00; e no quarto, de R$ 25,00. Sabe-se que no período considerado o gasto anual com inseticida foi constante, de R$ 3.600,00. O custo médio aproximado dos inseticidas para o período de quatro anos foi de
a) R$ 26,00
No post 40 anos apenas citei esse exemplo, informando que os alunos do Instituto Integral são capazes de "cravar" a resposta correta em apenas 15 segundos.
Muitos leitores me solicitaram a solução da questão, ou que eu informasse essa "fórmula mágica" para resolvê-la...
Como já tratamos da média harmônica no post Pílulas de Estatística (2), podemos agora resolver a questão com relativa facilidade.
ANPAD - 2005. Durante quatro anos consecutivos, o proprietário de uma fazenda comprou um tipo de inseticida. No primeiro ano, o custo foi de R$ 16,00 por galão; no segundo, de R$ 18,00; no terceiro, de R$ 20,00; e no quarto, de R$ 25,00. Sabe-se que no período considerado o gasto anual com inseticida foi constante, de R$ 3.600,00. O custo médio aproximado dos inseticidas para o período de quatro anos foi de
a) R$ 26,00
b) R$ 25,33
c) R$ 24,15
d) R$ 19,22
e) R$ 16,30
Solução/Comentários:
Como a questão pede o custo médio por galão (($)/(volume)), já sabemos que a média a ser calculada é a harmônica, e não a aritmética.
Mas, antes de realizarmos o cálculo diretamente, vamos provar que a média a ser calculada é, de fato, a harmônica.
Para o cálculo da média solicitada, deveremos dividir o gasto total pela quantidade total, ou seja:
A quantidade adquirida em cada ano é obtida dividindo-se a quantia disponível em cada ano pelo preço do galão.
Podemos, então, calcular o custo médio por galão da seguinte forma:
Colocando-se 3600 em evidência no denominador e simplificando com o numerador, tem-se:
Observe que a fórmula acima é a da média harmônica. Evidentemente que não desenvolveremos esse cálculo, devido a sua extensão...
Recorrendo-se ao raciocínio utilizado nos posts Pílulas de Estatística (1) e Pílulas de Estatística (2), podemos calcular, rapidamente, a média aritmética do conjunto 16, 18, 20, 25, subtraindo 20 de cada valor:
-4, -2, 0, 5
A média aritmética do conjunto acima é -0,25. Somando-se 20 novamente, tem-se o valor de 19,75 para média aritmética do conjunto.
Como a amplitude do conjunto: 16, 18, 20, 25 é
A = 25 - 16 = 9
A amplitude é pequena pois o seu valor está fora do intervalo do conjunto. Assim, sabemos que a média harmônica é pouca coisa menor do que a média aritmética.
Conclusão: A alternativa correta é a D.
Abraços e Sucesso!
Prof. Milton Araújo.
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