terça-feira, 10 de dezembro de 2013

Pílulas de Estatística (2)

"Torture seus dados por um tempo, e eles lhe contarão tudo." [Autor desconhecido]


A esquisita Média Harmônica

Prezados,

Vamos continuar falando de médias, dando destaque, neste post, para a média harmônica.

Sempre que ouvimos falar em médias, pensamos logo na média aritmética, mas alguém já parou para pensar por que existem os outros tipos de médias? Para que servem, afinal?

O que é média e como se calcula, todos sabem. Todos os livros trazem isso. Nas aulas de Estatística, os professores nos "tranquilizam", dizendo que não precisamos decorar aquelas fórmulas esquisitas e cheias de símbolos mais esquisitos ainda, pois poderemos consultar o formulário durante as provas...

Você, caro leitor, saberia dizer para que serve cada tipo de média?

Por exemplo, na questão:

Dois carros partem juntos de um ponto A e vão até um ponto B. O carro 1 desenvolve uma velocidade de 30 km/h e o carro 2, 40 km/h. Ao chegar ao ponto B, cada carro retorna imediatamente ao ponto A. O carro 1 com velocidade de 120 km/h, e o carro 2 a 60 km/h. Qual dos carros chegará primeiro?
[Fonte: banco de questões do autor]

Se eu disser que ambos chegarão juntos, muitos ficarão indignados!

Só para não deixá-los irados comigo, apresentarei uma solução que, embora seja um pouco mais longa, facilita o entendimento. Posteriormente, veremos uma forma desconcertante para resolver, em segundos, questões desse tipo...

Vamos supor que a distância entre os pontos A e B seja de 120 km. Assim, o carro 1 vai do ponto A ao B em 120/30 = 4 horas, e retorna do ponto B ao ponto A em 120/120 = 1 hora. O tempo total que o carro 1 leva para ir e voltar é de 5 horas.

Já o carro 2 leva 120/40 = 3 horas para ir de A para B, e 120/60 = 2 horas para voltar de B para A. O tempo total gasto pelo carro 2 foi de 5 horas.

Os dois carros saíram juntos e chegarão juntos, pois a velocidade média de ambos é de 48 km/h...

Por enquanto, grave isto: "velocidade média não é média aritmética, mas harmônica!". Mais adiante, entenderemos porque isto ocorre.

Faremos aqui uma breve revisão das fórmulas das médias aritmética, geométrica e harmônica, visto que nosso objetivo principal é entender para que serve cada uma delas e em que tipo de dados aplica-se uma ou outra.


Média Aritmética Simples

Seja o conjunto de dados:

A média aritmética simples é calculada pela seguinte fórmula:


Note que apresentamos a fórmula do modo mais simples possível. Não usaremos aqui aquela complicada nomenclatura que utiliza somatórios e outros penduricalhos...


Média Geométrica

Fórmula:


Aplicação: dados que seguem uma lei geométrica, como, por exemplo, áreas; taxa média em juros compostos.

Média Harmônica

Fórmula:


Aplicação: dados com grande amplitude de variação; dados que relacionam grandezas de natureza diferente, como, por exemplo, velocidade (distância/tempo), e outros como custo por volume ($/litro), etc.

Obs.: Amplitude de uma distribuição de dados é a diferença entre seus valores extremos.

Vamos entender o comportamento dos três tipos de médias através de um exemplo com dois conjuntos de dados.


Observações importantíssimas:

  • Para qualquer conjunto de dados:

A média aritmética é maior do que a média geométrica, e esta, por sua vez, é maior do que a média harmônica. Elas serão todas iguais somente no caso em que todas as observações de uma distribuição forem iguais (é o mesmo que dizer que o desvio padrão da distribuição é igual a zero).

  • Quando a amplitude de um conjunto de dados for um número que está no intervalo entre o menor e o maior valor desse conjunto, ela é considerada uma grande amplitude.
  • Quando a amplitude estiver fora do intervalo entre o menor e o maior valor do conjunto de dados, ela é considerada pequena.

Observe, no exemplo (1) acima, que a amplitude A = 16 - 4 = 12 é um valor que está entre 4 e 16, portanto, essa amplitude é grande.

Já no exemplo (2), a amplitude A = 12 - 10 = 2 é um valor fora do intervalo entre 10 e 12. Aqui a amplitude é pequena.

  • Quando a amplitude de um conjunto de dados é grande, as médias aritmética e harmônica estão bem distantes uma da outra - ver o exemplo (1).
  • Quando a amplitude de um conjunto de dados é pequena, as médias aritmética, geométrica e harmônica estão bem próximas entre si - ver o exemplo (2).

Dicas: 

1. Quando n = 2, isto é, quando houver apenas dois dados, a média harmônia pode ser calculada pela seguinte fórmula:


Ou, em outras palavras, a média harmônica é o dobro do produto dos valores, dividido pela soma dos valores.

2. Quando a amplitude é grande, a média harmônica estará mais próxima do menor valor do conjunto de dados e não será igual ao dobro deste.

Observe o exemplo (1): o menor valor é 4 e a média harmônica é igual a 6,4, que é um valor menor do que o dobro de 4...

Com essas informações, podemos resolver uma questão, que parece complicada, de forma rápida e segura!

Veja o seguinte exemplo:

Durante a realização de uma gincana escolar, uma das provas consiste em caminhar em linha reta do ponto A até o ponto B, e, em seguida, retornar ao ponto A. Pela regra da prova, cada competidor não pode andar mais do que 50 passos por minuto em um dos trechos, nem mais de 100 passos por minuto no outro trecho. Dois dos competidores, João e Pedro, têm passadas iguais, isto é, a cada passo, ambos percorrem igual distância. Os dois partem ao mesmo tempo. João percorre o trecho de A até B dando 40 passos por minuto, e o trecho de B até A com 60 passos por minuto. Pedro percorre o trecho de A até B com 100 passos por minuto. Ao retornar de B para A, já cansado, só consegue dar 10 passos por minuto.
Quem venceu a prova?
A) Nenhum dos dois venceu, pois cruzaram juntos a linha de chegada.
B) Eles teriam cruzado juntos a linha de chegada se João percorresse o trecho de A até B com 50 passos por minuto.
C) Pedro venceu a prova.
D) João venceu a prova.
E) Não é possível determinar quem foi o vencedor.
[Fonte: banco de questões do autor]

Solução/Comentários:

Dados: 

João vai de A para B com velocidade de 40 ppm (passos por minuto), e volta de B para A com velocidade de 60 ppm.

Pedro vai de A para B com velocidade de 100 ppm, e volta com velocidade de 10 ppm.

Observa-se que os dados relacionam distância percorrida e tempo gasto (velocidade). Logo, deve-se calcular a média harmônica dos dois competidores.

Mas, antes de mais nada, calculemos as amplitudes de cada competidor:

João: A = 60 - 40 = 20 (pequena)

Pedro: A = 100 - 10 = 90 (grande)

Disto, podemos concluir que a velocidade média de João é pouca coisa menor do que 50 ppm (ou um pouco menor do que a média aritmética).

A velocidade média de Pedro não é o dobro da menor velocidade, ou seja, é um valor inferior a 20 ppm.

Conclusão: João venceu a prova!

Alternativa: D

Abraços e Sucesso!
Prof. Milton Araújo.

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